(陕西地区)中考数学总复*专题十与圆切线性质有关的证明及计算课件

发布于:2021-09-23 21:33:24

陕西专用 十、与圆切线性质有关的证明及计算 【例 1】 (2016·西宁)如图,D 为⊙O 上一点,点 C 在直径 BA 的延长 线上,且∠CDA=∠CBD. (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)过点 B 作⊙O 的切线交 CD 的延长线于点 E,BC=6, ABDD=23,求 BE 的长. 解:(1)连接 OD,∵OB=OD,∴∠OBD=∠BDO,∵∠CDA=∠CBD,∴∠CDA =∠ODB,又∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO+∠ODB=90°,∴∠ ADO+∠CDA=90°,即∠CDO=90°,∴OD⊥CD,∵OD 是⊙O 半径,∴CD 是⊙O 的切线 (2)∵∠C=∠C,∠CDA=∠CBD,∴△CDA∽△CBD,∴CBDC=BADD,∵BADD=23, BC=6,∴CD=4,∵CE,BE 是⊙O 的切线,∴BE=DE,BE⊥BC,∴BE2+BC2=EC2, 即 BE2+62=(4+BE)2,解得 BE=52 [对应训练] 1.(2016·黔东南州)如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB ,垂足为E,且PC2=PE·PO. (1)求证:PC是⊙O的切线; (2)若OE∶EA=1∶2,PA=6,求⊙O的半径. 解:(1)连接OC,如图,∵CD⊥AB,∴∠PEC=90°,∵PC2=PE·PO,∴PC∶PO =PE∶PC,而∠CPE=∠OPC,∴△PCE∽△POC,∴∠PEC=∠PCO=90°, ∴OC⊥PC,∴PC是⊙O的切线 (2)设OE=x,则EA=2x,OA=OC=3x,∵∠COE=∠POC,∠OEC=∠OCP, ∴△OCE∽△OPC,∴OC∶OP=OE∶OC,即3x∶OP=x∶3x,解得OP=9x,∴3x +6=9x,解得x=1,∴OC=3,即⊙O的半径为3 2.(2016·百色)如图,已知AB为⊙O的直径,AC为⊙O的切线,OC交⊙O于点 D,BD的延长线交AC于点E. (1)求证:∠1=∠CAD; (2)若AE=EC=2,求⊙O的半径. 解:(1)∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO+∠BDO=90°, ∵AC 为⊙O 的切线,∴OA⊥AC,∴∠OAD+∠CAD=90°,∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA,∵∠1=∠BDO,∴∠1=∠CAD (2)∵∠1=∠CAD,∠C=∠C,∴△CAD∽△CDE,∴CD∶CA=CE∶CD, ∴CD2=CA·CE,∵AE=EC=2,∴AC=AE+EC=4,∴CD=2 2, 设⊙O 的半径为 x,则 OA=OD=x,则 Rt△AOC 中,OA2+AC2=OC2, ∴x2+42=(2 2+x)2,解得 x= 2.∴⊙O 的半径为 2 3.(导学号 )(2015·天水)如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,OC*行 于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连接AC,与DE交于点P.求证: (1)PE=PD; (2)AC·PD=AP·BC. 解:(1)∵AB 是⊙O 的直径,BC 是切线,∴AB⊥BC,∵DE⊥AB,∴DE∥BC, ∴△AEP∽△ABC,∴EBPC=AAEB…①,又∵AD∥OC,∴∠DAE=∠COB,∴△AED∽ △OBC,∴EBDC=AOEB=1AE =2AABE…②,由①②,可得 ED=2EP,∴PE=PD 2AB (2)由(1)得△AEP∽△ABC,∴AACP=PBEC,∵PE=PD,∴AAPC=BPCD,∴AC·PD=AP·BC 【例 2】 (2016·新疆)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC,BC 于点 D,E,点 F 在 AC 的延长线上,且∠CBF=12∠CAB. (1)求证:直线 BF 是⊙O 的切线; (2)若 AB=5,sin∠CBF= 55,求 BC 和 BF 的长. 解:(1)连接 AE,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AEB=90°, ∴∠1+∠2=90°,∵AB=AC,∴∠1=12∠CAB,∵∠CBF=12∠CAB, ∴∠1=∠CBF,∴∠CBF+∠2=90°,即∠ABF=90°, ∵AB 是⊙O 的直径,∴直线 BF 是⊙O 的切线 (2)过点 C 作 CG⊥AB 于 G.∵sin∠CBF= 55,∠1=∠CBF, ∴sin∠1= 55,∵在 Rt△AEB 中,∠AEB=90°,AB=5, ∴BE=AB·sin∠1= 5,∵AB=AC,∠AEB=90°,∴BC=2BE=2 5, 在 Rt△ABE 中,由勾股定理得 AE= AB2-BE2=2 5, ∴sin∠2=AABE=2 5 5=CBGC,cos∠2=BAEB= 55=BBCG, 在 Rt△CBG 中,可求得 GC=4,GB=2,∴AG=3,∵GC∥BF, ∴△AGC∽△ABF,∴GBCF=AABG,∴BF=GCA·GAB=230 [对应训练] 4.(2016·永州)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB为直径,过点B的切线与 AC的延长线交于点D,E是BD中点,连接CE. (1)求证:CE是⊙O的切线; (2)若AC=4,BC=2,求BD和CE的长. 解: (1)连接 OC,如图所示:∵BD 是⊙O 的切线,∴∠CBE=∠A,∠ABD=90°, ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCO=90°,∠BCD=90 °,∵E 是 BD 中点,∴CE=12BD=BE,∴∠BCE=∠CBE=∠A,∵OA=OC, ∴∠ACO=∠A,∴∠ACO=∠BCE,∴∠BCE+∠BCO=90°,即∠OCE=90°, ∵OC 是⊙O 的半径,∴CE 是⊙O 的切线 (2)∵∠ACB=90°,∴AB= AC2+BC2= 42+22=2 5, ∵tanA=BADB=BACC=24=12,∴BD=12AB= 5,∴CE=12BD= 5 2 5.(导学号 30042119)(2016·武汉)如图,点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上,

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