线性代数考试卷及答案

发布于:2021-11-27 13:24:16

南京工业大学

线 性 代 数

试题(A)卷(闭)

2008--2009 学年第 二 学期 使用班级 计软 0801-3 班级
题号 得分 (符号说明: E 表示单位矩阵, R 表示矩阵的秩, 表示矩阵 A 的足迹。 ) 一、填空题(每题 3 分,共 15 分) 表示行列式, T 表示矩阵的转置,trace(A) 一 二

学号
三 四 五

姓名
六 七 八 总分

x y z x?3 y ?5 z ?6 1.已知 0 2 3 = 2 ,则 ? 2 ?4 ?5 = 1 1 1 1 1 1
2. u 为 n 维非零单位列向量,则矩阵 uu 的 n 个特征值分别为
T





? 2 1 0? ? ? 3.设矩阵 A = 1 2 0 ,矩阵 B 满足 ABA* = 2 BA* + E ,其中 A* 为 A 的伴随矩阵,则 ? ? ? 0 0 1? ? ?

| B |=



? x1 ? x2 = a1 ? 4.方程组 ? x2 ? x3 = a2 有解的充要条件为 ?x ? x = a ? 3 1 3
5.已知 A ? A ? 2 E = 0 ,则 ( A ? E ) ?1 = 二、选择题(每题 3 分,共 15 分)
2





1 . 设 A、B、C 是 三 个 同 阶 方 阵 、 E 为 同 阶 单 位 矩 阵 , 且 ABC = E 。 下 列 等 式 :

ACB = E ; BAC = E ; BCA = E ; CAB = E ; CBA = E 。其中正确的个数有(
(A ) 2 个 (B) 1个 (C ) 3个 (D) 4 个

)

2. 设 ε 1 , ε 2 , ? , ε n 线性无关, η1 = ε 1 + ε 2 , η 2 = ε 2 + ε 3 , ?η n ?1 = ε n ?1 + ε n ,η n = ε n + ε 1 ,

则关于向量组 η1 ,η 2 , ? ,η n 的论述正确的是(

) (D)以上均不正确 )

(A)一定线性无关 (B)一定线性相关 (C)相关与否与 n 有关
2

3.设三阶方矩 A 的三个特征值分别为 1,2,4, 又矩阵 B = A + A ? 3E ,则如下正确的是( (A)矩阵B不可逆 (C)矩阵B不可以对角化 (B) 矩阵B三个特征值为 -1,3,17 (D)

trace( B) = 18
).
T T

4. 设 m × n 阶矩阵 R ( A) = r ,则如下结论正确的是(
T T T T

(A) R ( A A) ≠ R ( A ) (B) R ( A A) = R ( A ) (C) R ( A A) > R ( A) (D) R ( A A) ≠ R ( A) 5. 如 α 1 , α 2 , α 3 , β 1 , β 2 都 是 四 维 列 向 量 , 且 4 阶 行 列 式 α 1

α2 α3
)

β1 = m ,

α1 α 2

β 2 α 3 = n ,则 4 阶行列式 α 3 α 2 α 1 ( β 1 + β 2 ) 等于(
(B) m ? n (C) ? ( m + n) ( D) n ? m

(A ) m + n

三、(10分)计算n阶行列式

x1 ? m x2 x1 x2 ? m ? ? x1 x2

? xn ? xn ? ? ? xn ? m

0 0 ? 1 ? 0 ?? 2 3 四、 (12 分) 设四阶矩阵 A = ? 0 ?4 5 ? ? 0 0 ?6 ?
试给出 ( B + E ) 。
?1

0? ? 0? , 方阵 B 满足矩阵方程 AB + A = E ? B , 0? ? 7? ?

五、 (12 分)求向量组 α1 = (1,1, 0,1),α 2 = (2, 0,1,3),α 3 = (0, 2, ?1, ?1), α 4 = (0,1, ?1, ?1),

α 5 = (6,1,3,9) 的秩和它的一个极大线性无关组,并把其余向量表示为所求的极大线
性无关组的线性组合。

六、 (13分)当 a, b 为何值时,线性非齐次方程组

x3 + x4 = 0 ? x1 + x2 + ?2 x + 3x + 4 x3 + 4 x4 = 1 ? 1 2 ? ? x2 + (a ? 3) x3 ? 2 x4 = b ? ? x3 + ax4 = ?1 ?3 x1 + 2 x2 +
无解、有唯一解、或有无穷多组解?在有无穷多解时,求出其通解. 七、 (16分)已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + x2 + 2 x3 + 2 x1 x2 ,试回答下列问题 1) 写出此二次型的矩阵 A ; 2) 利用正交变换 X = QY 该二次型化为标准型,并给出所使用的正交变换和标准型; 3) 判断该二次型是何种二次型。 八、(7分)设矩阵 A, B 均为实正交矩阵且 A = ?1, B = 1 ,试证明: A + B = 0 .
2 2 2

南京工业大学

线 性 代 数 试 题 标 准 答 案

试题

(A)卷

2008--2009 学年第一学期
一、填空题(每题 3 分,共 15 分)

使用班级

计软 0801-3

(1)2 (2)1,0(n-1 重) (3)-1/9 (4) a1 + a2 + a3 = 0 (5) 1 2 A 二、选择题(每题 3 分,共 15 分) 1.A 2. C 3. B 4. B 5. D

三、 (10分)第 2,3? , n 列加到第1列:

1 x2 1 x2 ? m D = ( x1 + x2 + ? xn ? m) ? ? 1 x2 1 x2 0 ?m = ( x1 + x2 + ? xn ? m) ? ? 0 0
n ?1

? xn ? xn ? ? ―――――――4 分 ? xn ? m

? xn ? xn ――――――――――8 分 ? ? ? ?m

= (?1)

m n ?1 ( x1 + x2 + ? xn ? m) ―――――――――――――――――10 分

四、 (12 分)解:由方阵 B 满足矩阵方程 AB + A = E ? B ,可得

AB + A + B + E = 2 E


A( B + E ) + ( B + E ) = 2 E ―――――――――――――6 分
( A + E )( B + E ) = 2 E



0 0 ? 1 ? 0 ?? 2 3 A=? 0 ?4 5 ? ? 0 0 ?6 ? 0 0 ?1 ? 0 1 ??1 2 = ( A + E) = ? 0 ?2 3 2 ? ?0 0 ?3 ?

0? ? 0? 0? ? 7? ? 0? ? 0? ―――――――12 分 0? ? 4? ?



( B + E ) ?1

五(12 分) 、解:以 α 1 , α 2 , ? , α 5 为列,构成矩阵 A 并进行初等行变换。

?1 ? 1 A = (α1T , α 2T , α 3T , α 4T , α 5T ) = ? ?0 ? ?1

2 0 0 0 2 1 1 ?1 ?1 3 ?1 ?1

6? ?1 2 ? ? 1 ? ? 0 ?1 → 3? ?0 0 ? ? 9? ?0 0

0 1 0 0

0 6? ? 0 ?2 ? ―――6 分 1 ?1 ? ? 0 0?

秩为 3; ― ― ― ― 8 分 , 极 大 线 性 无 关 组 为 α1 , α 3 , α 4 ; ― ― ― 10 分

α 2 = 2α1 ? α 3 , α 5 = 6α1 ? 2α 3 ? α 4 。 ―――――――――――――12 分
六、 (13 分)对方程组的增广矩阵进行初等行变换

1 1 ?1 1 ? 2 3 4 4 ( A | b) = ? ? 0 ?1 a ? 3 ?2 ? 1 a ?3 2

? 0? ? ? 1? ? b? ? ? ?1?

r2 ? 2r1 r3 ? 3r1

1 1 ?1 1 ? 2 2 ?0 1 ? 0 ?1 a ? 3 ?2 ? ? 0 ?1 ?2 a ? 3

? 0? ? ? 1? ? b? ? ? ?1 ?

r3 + r2 r4 + r2

?1 ? ?0 ?0 ? ?0

1 1 1 1 2 2 0 a ?1 0 0 0 a ?1

? 0 ? ? ? 1 ? = B ―――――――――5 分 ? b + 1? ? ? 0 ?

显然可见: 当 a = 1, b ≠ ?1 时方程组无解,当 a ≠ 1 时方程组有唯一解,当 a = 1, b = ?1 时 方程组有无穷多组解.――――――――――――――――――――――――8 分 当 a = 1, b = ?1 时继续将矩阵 B 化为行最简形得

?1 ? 0 B=? ?0 ? ?0

1 1 0 0

1 2 0 0

1 2 0 0

? ? ? ?

0? ? 1? 0? ? 0?

r1 ? r2

?1 ? ?0 ?0 ? ?0

0 ?1 ?1 1 2 2 0 0 0 0 0 0

? ?1 ? ? ? 1? ? 0? ? ? 0?

与原方程组等价的方程组为

? x1 = ?1 + x3 + x4 ? ? x2 = 1 ? 2 x3 ? 2 x4 ? ?1 ? ? ? 1 ? x3 ? ? 0 ? 令 ? ? = ? ? ,得原方程组的一个特解为 η = ? ? 。 ――――――――11 分 ?0? ? x4 ? ? 0 ? ? ? ?0?
与原方程组对应的齐次方程组等价的方程组为

? x1 = x3 + x4 ? ? x2 = 2 x3 ? 2 x4

?1? ?1? ? ? ? ? ?2 ? ?2 ? x3 ? ? 1 ? ? 0 ? ? 令 ? ? = ? ? , ? ? 得齐次方程组的一个基础解系为 η1 = ,η 2 = ? ? . ?1? ?0? ? x4 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 0? ?1?
故原方程组有无穷多组解时的通解为 X = η + k1η1 + k2η 2 , k1 , k2 为任意常数.―――13 分

?1 1 0? ? ? 七、 (16 分)解:1)此二次型的矩阵 A = 1 1 0 ―――――――4 分 ? ? ? 0 0 2? ? ? 1? λ
2)矩阵的特征多项式为 f A (λ ) =| A ? λ E |=

1

0

1 0

1? λ 0 = ? λ (λ ? 2) 2 0 2?λ

故矩阵 A 的三个特征值为 0,2(二重) 当 λ = 2 时 , 求 解 方 程 组 ( A ? λ E ) X = 0, 得 两 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量

η1 =

1 (1,1, 0)T ,η2 = (0, 0,1)T . 2 1 (?1,1, 0)T . 2

当 λ = 0 时,求解方程组 ( A ? λ E ) X = 0, 得特征向量 η3 =

令 Q = (η1 ,η 2 ,η3 ) , 作 变 换 X = QY 即 为 正 交 变 换 , 可 将 二 次 型 化 为 标 准 型

2 2 ――――――――――――9 分 2 y12 + 2 y2 + 0 y3

3)由于矩阵 A 的特征值全部非负,故二次型为半正定的.―――――――3 分 八、 (7 分)证明:因为 A、B 为正交矩阵,故

A + B = A( E + AT B) = A( BT + AT ) B = A ( B + A)T B = A A + B B ―――4 分
又 A = ?1, B = 1 ,代入上式可得

A + B = ? A + B ,所以

A + B = 0. ――――――――――――7 分


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