2020版高考数学人教版理科一轮复*课时作业:7 二次函数与幂函数含解析

发布于:2021-09-23 22:45:03

课时作业 7 二次函数与幂函数

一、选择题 1.幂函数 y=f(x)经过点(3, 3),则 f(x)是( D )

A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数

B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数

C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数

D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 解析:设幂函数的解析式为 y=xα,将(3, 3)代入解析式得 3α= 3,解
1

得 α=2,∴y=x ,其是非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是

增函数.

2.函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当

x∈(-∞,-2]时,f(x)是减函数,则 f(1)的值为( B )

A.-3

B.13

C.7

D.5 m

解析:函数 f(x)=2x2-mx+3 图象的对称轴为 x= 4 , m

由函数 f(x)的增减区间可知 4 =-2, 所以 m=-8,即 f(x)=2x2+8x+3,

所以 f(1)=2+8+3=13.

3.(2019·宁夏银川一中模拟)已知点(m,8)在幂函数 f(x)=(m-1)xn 的图象

( ) ( ) 3

2

上,设 a=f 3 ,b=f(lnπ),c=f 2 ,则 a,b,c 的大小关系为( A )

A.a<c<b

B.a<b<c

C.b<c<a

D.b<a<c

解析:∵点(m,8)在幂函数 f(x)=(m-1)xn 的图象上,∴Error!解得Error! ∴f(x)=x3,且 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
32 又 3 < 2 <1<lnπ, ∴a<c<b,故选 A. 4.如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,图象过点 A(-3,0),对 称轴为 x=-1.给出下面四个结论:

①b2>4ac;

②2a-b=1;

③a-b+c=0;

④5a<b.

其中正确的是( B )

A.②④

B.①④

C.②③

D.①③

解析:因为图象与 x 轴交于两点,所以 b2-4ac>0,即 b2>4ac,①正

确.

b

对称轴为 x=-1,即-2a=-1,2a-b=0,②错误.

结合图象,当 x=-1 时,y>0,即 a-b+c>0,③错误.

由对称轴为 x=-1 知,b=2a.

又函数图象开口向下,所以 a<0,所以 5a<2a,即 5a<b,④正确.

5.(2019·陕西西安联考)已知函数 f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是

[-5,4],则实数 m 的取值范围是( C )

A.(-∞,-1)

B.(-1,2]

C.[-1,2]

D.[2,5]

解析:∵f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴当 x=2 时,f(2)=4,由 f(x)

=-x2+4x=-5,解得 x=5 或 x=-1,∴要使函数在[m,5]的值域是[-5,4],

则-1≤m≤2,故选 C.

6.函数 f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则

f(2-x)>0 的解集为( D )

A.{x|-2<x<2}

B.{x|x>2,或 x<-2}

C.{x|0<x<4}

D.{x|x>4,或 x<0}

解析:函数 f(x)=ax2+(b-2a)x-2b 为偶函数,则 b-2a=0,故 f(x)

=ax2-4a=a(x-2)(x+2),因为在(0,+∞)单调递增,所以 a>0.根据二次函

数的性质可知,不等式 f(2-x)>0 的解集为{x|2-x>2,或 2-x<-2}

={x|x<0,或 x>4},故选 D.

7.(2019·河南南阳模拟)设函数 f(x)=mx2-mx-1,若对于 x∈[1,3],f(x)

<-m+4 恒成立,则实数 m 的取值范围为( D )

A.(-∞,0]
( )5
0, C.(-∞,0)∪ 7

[ )5
0, B. 7

( )5

-∞,

D.

7

解析:由题意,f(x)<-m+4 对于 x∈[1,3]恒成立即 m(x2-x+1)<5 对于

x∈[1,3]恒成立.∵当 x∈[1,3]时,x2-x+1∈[1,7],∴不等式 f(x)<-m+4 等

5

5

5

价于 m<x2-x+1.∵当 x=3 时,x2-x+1取最小值7,∴若要不等式 m<

5

5

x2-x+1对于 x∈[1,3]恒成立,则必须满足 m<7,因此,实数 m 的取值范围

( )5

-∞,



7 ,故选 D.

二、填空题

8.已知函数 f(x)=x2-m 是定义在区间[-3-m,m2-m]上的奇函数,则

f(m)=-1.

解析:由题意得 m2-m=3+m,

即 m2-2m-3=0,∴m=3 或 m=-1.

当 m=3 时,f(x)=x-1,[-3-m,m2-m]为[-6,6],f(x)在 x=0 处无意

义,故舍去.

当 m=-1 时,f(x)=x3,[-3-m,m2-m]为[-2,2],满足题意,∴f(m)

=f(-1)=(-1)3=-1.

9.已知二次函数 y=x2+2kx+3-2k,则顶点位置最高时函数的解析式

为 y=x2-2x+5.

解析:由题意可知 y=x2+2kx+3-2k=(x+k)2-k2-2k+3,所以该函数

的顶点坐标为(-k,-k2-2k+3).

设顶点的纵坐标为 y=-k2-2k+3=-(k+1)2+4,所以当 k=-1 时,

顶点位置最高,此时函数的解析式为 y=x2-2x+5.

10.(2019·福建莆田一中模拟)已知函数 f(x)=x2+bx+1 满足 f(-x)

=f(x+1),若存在实数 t,使得对任意实数 x∈[1,m],都有 f(x+t)≤x 成立,

则实数 m 的最大值为 3.

解析:函数 f(x)=x2+bx+1 满足 f(-x)=f(x+1),则 f(x)图象的对称轴为

1

b1

x=2,则-2=2,解得 b=-1,∴f(x)=x2-x+1,由 f(x+t)≤x 得(x+t) 2-(x+t)+1≤x,即(x+t-1)2≤-t(t≤0),∴1-t- -t≤x≤1-t+ -t,由 题意可得 1-t- -t≤1,解得-1≤t≤0,令

( )1 3

-t+

y=1-t+ -t=

2 2+4,可得 1≤y≤3,∴m≤3,可得 m 的最大值为

3.

三、解答题

11.已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].

(1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. 解:(1)当 a=-1 时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5],所以当 x=1 时,f(x)取得最小值 1; 当 x=-5 时,f(x)取得最大值 37. (2)函数 f(x)=(x+a)2+2-a2 的图象的对称轴为直线 x=-a, 因为 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数, 所以-a≤-5 或-a≥5,即 a≤-5 或 a≥5. 故实数 a 的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞). 12.(2019·宁夏育才中学月考)已知函数 f(x)=x2-4x+a+3,a∈R. (1)若函数 f(x)在(-∞,+∞)上至少有一个零点,求实数 a 的取值范围;

(2)若函数 f(x)在[a,a+1]上的最大值为 3,求 a 的值.

解:(1)由 Δ=16-4(a+3)≥0,得 a≤1.

故实数 a 的取值范围是(-∞,1].

(2)f(x)=(x-2)2+a-1.

当 a+1<2,即 a<1 时,f(x)max=f(a)=a2-3a+3=3,解得

a=0,a=3(舍去);

a+a+1

3

当 a+1≥2, 2 ≤2,即 1≤a≤2时,f(x)max=f(a)=3,解得 a=0

a+a+1

3

或 3(均舍);当 a≤2, 2 >2,即2<a≤2 时,f(x)max=f(a+1) 1 ± 13

=a2-a=3,解得 a= 2 (均舍).当 a>2 时,f(x)max=f(a+1) 1+ 13 1- 13

=a2-a=3,解得 a= 2 ,a= 2 (舍去).

1+ 13

综上,a=0 或 a= 2 .

13.(2019·河南南阳模拟)已知函数 f(x)=(m2-m-1)·

4m9-m5-1

x

是幂函数,对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且 x1≠x2,(x1-x2)

[f(x1)-f(x2)]>0,若 a,b∈R,且 a+b>0,ab<0,则 f(a)+f(b)的值( A )

A.恒大于 0

B.恒小于 0

C.等于 0

D.无法判断

4m9-m5-1

解析:根据题意,得 f(x)=(m2-m-1)x

是幂函数,

∴m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1;又 f(x)在第一象限是增函数,且当 m=2 时,指数为 4×29-25-1=2 015>0,满足题意;当 m=-1 时,指数为

4×(-1)9-(-1)5-1=-4<0,不满足题意;∴幂函数 f(x)=x2 015 是定义域

R 上的奇函数,且是增函数;又∵a,b∈R,且 a+b>0,∴a>-b,又

ab<0,不妨设 b<0,即 a>-b>0,∴f(a)>f(-b)>0,f(-b)=-f(b),∴f(a)>

-f(b),∴f(a)+f(b)>0,故选 A.

14.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导函数为 f′(x),若对任意 x∈R, b2

不等式 f(x)≥f′(x)恒成立,求a2+2c2的最大值. 解:∵f(x)=ax2+bx+c,

∴f′(x)=2ax+b,

∵对任意 x∈R,不等式 f(x)≥f′(x)恒成立,

∴ax2+bx+c≥2ax+b,化简可得 ax2+(b-2a)x+c-b≥0,

∴Δ=(b-2a)2-4a(c-b)=b2+4a2-4ac≤0 且 a>0,即 b2≤4ac-4a2,

∴4ac-4a2≥0,∴c≥a>0, c

∴a-1≥0. b2 4ac-4a2

∴a2+2c2≤ a2+2c2

( ) 4c

c

-4 4 -1

a

a

( ) 2c2

c

1+ 1+2 2

= a2 = a .

c

令 t=a-1,则 t≥0,∴当 t>0 时,

4

4t

3

4

6

2t+ +4

1+2?t+1?2= t ≤2 6+4= 6-2,当且仅当 t= 2 时取等号.

( ) b2

6

b2

当 t=0 时,a2+2c2≤0,综上,当 t= 2 时, a2+2c2 max= 6-2.

?尖子生小题库——供重点班学生使用,普通班学生慎用

15.(2018·天津卷)已知 a>0,函数 f(x)=

Error!若关于 x 的方程 f(x)=ax 恰有 2 个互异的实数解,则 a 的取值范

围是(4,8).

解析:解法 1:当 x≤0 时,由 x2+2ax+a=ax,得 a=-x2-ax;当 x>0

时,由-x2+2ax-2a=ax,得 2a=-x2+ax.令 g(x)=Error!

作出直线 y=a,y=2a,函数 g(x)的图象如图所示,

a2 a2 a2 g(x)的最大值为- 4 + 2 = 4 ,由图象可知,若 f(x)=ax 恰有 2 个互异 的实数解,
a2 则 a< 4 <2a,得 4<a<8. 解法 2:由 f(x)=ax,可得

x2 当 x≤0 时,x2+2ax+a=ax,即 x2+ax+a=0,可得 a=-x+1. 由 a>0,可得 x<-1.
x2 可设函数 g(x)=-x+1,其中 x∈(-∞,-1). 当 x>0 时,-x2+2ax-2a=ax,
x2 即 x2-ax+2a=0,可得 a=x-2. 由 a>0,可得 x>2.
x2 可设函数 h(x)=x-2,其中 x∈(2,+∞).
x2+2x 对 g(x)求异,可得 g′(x)=-?x+1?2. 令 g′(x)<0,可得 x<-2; 令 g′(x)>0,可得-2<x<-1,则 g(x)在(-∞,-2)上单调递减,在 (-2,-1)上单调递增. 同理可得 h(x)在(2,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增. 画出 g(x)和 h(x)的大致图象如图所示.
由图可知,满足题意的 a 的取值范围是(4,8).


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